题目内容
如图，在正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限，动点P在正方形ABCD的边上从点A出发沿A→B→C以每秒一个单位长度匀速运动，同时动点Q以每秒| 1 |
| 2 |
（1）求正方形边长及顶点C的坐标；
（2）当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
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（3）在（2）的条件下，当P点沿A→B→C运动时，是否存在适当的t值，使△OPQ为直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）利用勾股定理即可求出AB的值，运用三角函数求出顶点C的坐标．
（2）令t=0，即可求出Q运动起点的坐标．
（3）分四种情况①当0＜t≤10时，∠OQP=90°，②当20≥t＞10时，∠OQP=90°③当20≥t＞10时，∠OPQ=90°，④当t=0时，∠POQ=90°，分别求出t的值．
（2）令t=0，即可求出Q运动起点的坐标．
（3）分四种情况①当0＜t≤10时，∠OQP=90°，②当20≥t＞10时，∠OQP=90°③当20≥t＞10时，∠OPQ=90°，④当t=0时，∠POQ=90°，分别求出t的值．
解答：解：（1）∵A（0，10），B（8，4），
∴AB=
=10，
如图1，过点作MN⊥y轴，交y轴于点M，交CE于点N，
∵MB=8，AM=10-4=6，AB=10，
∴sin∠ABM=
=
=
，
∵∠ABM+∠CBN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ABM=∠BCN，
∴sin∠BCN=
=
，
∵BC=10，
∴BN=6，
∴CN=
=8，
∴OE=8+6=14，EC=4+8=12，
∴顶点C的坐标（14，12）．
（2）∵点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
t+1，
令t=0，得x=1，
∴点Q运动起点的坐标为（1，0），
（3）①当0＜t≤10时，∠OQP=90°，
∵点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
t+1，
∴Q（
t+1，0），
∵AP=t，
∴P的坐标为（
t，10-
t），
当P，Q的横坐标相同时，∠PQO=90°，
∴
t+1=
t，解得t=
，
∴t=
时，△OPQ为直角三角形．
②当20≥t＞10时，∠OQP=90°
∵当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
t+1=
×10+1=6，
∴当t＞10时，x=6+4（t-10）=4t-34．
∵在AB上AP=t，
∴AB上P的横坐标为
×10=8，
在BC上时点P的横坐标为8+
（t-10）=
t+2，
当P，Q的横坐标相同时，∠PQO=90°，
∴4t-34=
t+2，解得t=
，
∴t=
时，△OPQ为直角三角形．
③当20≥t＞10时，
∵当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
t+1=
×10+1=6，
∴当t＞10时，x=6+4（t-10）=4t-34．
∴Q坐标为（4t-34，0）
∵在AB上AP=t，
∴AB上的B点时，P的横坐标为
×10=8，纵坐标为4，
在BC上时点P的横坐标为8+
（t-10）=
t+2，纵坐标4+
（t-10）=
t-4．
P的坐标为（
t+2，
t-4）
当∠OPQ=90°，如图2作PM⊥x轴交x轴于点M．
∵∠OPQ=90°，
∴PM2=OM•QM，即（
t-4）2=（
t+2）•（4t-34-
t-2），
化简得7t2-42t-440=0，
解得t1=3+
，t2=3-
（舍去）
④当t=0时，∠POQ=90°，
故存在适当的t值，使△OPQ为直角三角形，t=
，
或3+
，0．
∴AB=
| 82+(4-10)2 |
如图1，过点作MN⊥y轴，交y轴于点M，交CE于点N，
∵MB=8，AM=10-4=6，AB=10，
∴sin∠ABM=
| AM |
| AB |
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| 10 |
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∵∠ABM+∠CBN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ABM=∠BCN，
∴sin∠BCN=
| BN |
| BC |
| 3 |
| 5 |
∵BC=10，
∴BN=6，
∴CN=
| 102-62 |
∴OE=8+6=14，EC=4+8=12，
∴顶点C的坐标（14，12）．
（2）∵点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
| 1 |
| 2 |
令t=0，得x=1，
∴点Q运动起点的坐标为（1，0），
（3）①当0＜t≤10时，∠OQP=90°，
∵点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
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| 2 |
∴Q（
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∵AP=t，
∴P的坐标为（
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当P，Q的横坐标相同时，∠PQO=90°，
∴
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| 10 |
| 3 |
∴t=
| 10 |
| 3 |
②当20≥t＞10时，∠OQP=90°
∵当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
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∴当t＞10时，x=6+4（t-10）=4t-34．
∵在AB上AP=t，
∴AB上P的横坐标为
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在BC上时点P的横坐标为8+
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当P，Q的横坐标相同时，∠PQO=90°，
∴4t-34=
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∴t=
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③当20≥t＞10时，
∵当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=
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∴当t＞10时，x=6+4（t-10）=4t-34．
∴Q坐标为（4t-34，0）
∵在AB上AP=t，
∴AB上的B点时，P的横坐标为
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在BC上时点P的横坐标为8+
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P的坐标为（
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当∠OPQ=90°，如图2作PM⊥x轴交x轴于点M．
∵∠OPQ=90°，
∴PM2=OM•QM，即（
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化简得7t2-42t-440=0，
解得t1=3+
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④当t=0时，∠POQ=90°，
故存在适当的t值，使△OPQ为直角三角形，t=
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点评：本题主要考查了四边形综合题．涉及坐标，函数及方程的知识，第三问难度大，解题的关键是要分四种情况分别求出适当的t值，使△OPQ为直角三角形．
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下列各数中是无理数的是（ ）
1.
，-
，
，
π，0.020020002…，-2，
-1．
1.
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| A、2个 | B、3个 | C、4个 | D、5个 |
如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列说法中可能成立的是（ ）
| A、a、b为正数，c为负数 |
| B、a、c为正数，b为负数 |
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| D、a、c为负数，b为正数 |
如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将△BEC旋转，使点C落在BC上的点D处，点B落在BC上方的点F处，连接AF．
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