Question

如图所示，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C₁，与x轴的另一个交点为A₁．
（1）当a=-1，b=1时，求抛物线n的解析式；
（2）四边形AC₁A₁C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
（3）若四边形AC₁A₁C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．

Answer 1

分析：（1）根据a=-1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C₁关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；
（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；
（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．

解答：解：（1）当a=-1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=-x²+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．
令y=0，得：x=±1．
∴A（-1，0），B（1，0），
∵C与C₁关于点B中心对称，
∴抛物线n的解析式为：y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）
四边形AC₁A₁C是平行四边形．
理由：连接AC，AC₁，A₁C₁，
∵C与C₁、A与A₁都关于点B中心对称，
∴AB=BA₁，BC=BC₁，
∴四边形AC₁A₁C是平行四边形．

（3）令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．
令y=0，得：ax²+b=0，∴x=±

- b a

，
∴A(-

- b a

，0)，B(

- b a

，0)，
∴AB=2

- b a

，BC=

OC2+OB2

=

b2- b a

．
要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足AB=BC，
∴2

- b a

=

b2- b a

，∴4×(-

b

a

)=b2-

b

a

，
∴ab=-3．
∴a，b应满足关系式ab=-3．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．