Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x²﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．

（1）求点A，C的坐标；

（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；

（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²﹣18x+72=0

∴x₁=6，x₂=12．

∵OA＞OC，

∴OA=12，OC=6．

∴A（12，0），C（﹣6，0）；

 

（2）∵tan∠ABO=，

∴=，

∴，

∴OB=16．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB==20．

∵BE=5，

∴AE=15．

如图1，作EM⊥x轴于点M，

∴EM∥OB．

∴△AEM∽△ABO，

∴，

∴，

∴EM=12，AM=9，

∴OM=12﹣9=3．

∴E（3，12）．

∴12=，

∴k=36；

 

（3）满足条件的点Q的个数是6，如图2所示，

x轴的下方的Q₄（10，﹣12），Q₆（﹣3，6﹣3）；

如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），

∴CG=9，EG=12，

∴EG²=CG•GP，

∴GP=16，

∵△CPE与△PCQ是中心对称，

∴CH=GP=16，QH=FG=12，

∵OC=6，

∴OH=10，

∴Q（10，﹣12），

如图②∵E（3，12），C（﹣6，0），

∴CG=9，EG=12，

∴CE=15，

∵MN=CG=，

可以求得PH=3﹣6，

∴Q（﹣3，6﹣3），