Question

1．如图，四边形ABCD中，对角线交于点E，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，若tan∠ABC=4，EC=1，则BE=$\frac{\sqrt{34}}{3}$．

Answer 1

分析 作DF⊥AC垂足为F点，求出∠BAC=∠DAE，根据AAS证△ABC≌△ADE，推出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，求出CF=3a，根据△DFE∽△BEC，得到$\frac{DF}{BC}$=$\frac{EF}{CE}$，即可求出结果．

解答 解：作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠ACB$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠ACB=∠AFD}\end{array}\right.$=90°，
即∠BAC+∠FAD=∠FAD+∠ADF，
∴∠BAC=∠ADF，
在△ABC和△ADF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠ACB=∠AFD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADF（AAS），
∴BC=AF，AC=DF，
∵tan∠ABC=4，
设BC=AF=a，DF=AC=4a，
∴AB=AD=$\sqrt{{（4a）}^{2}{+a}^{2}}$=$\sqrt{17}$a，EF=3a-1，
∵∠DFE=∠BCE，∠FED=∠BEC，
∴△DFE∽△BEC，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{EF}{CE}$，
$\frac{4a}{a}$=$\frac{3a-1}{1}$，
∴a=$\frac{5}{3}$，
∴BC=$\frac{5}{3}$，
∴BE=$\sqrt{{BC}^{2}{+CE}^{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，梯形的性质等知识点，关键是正确作辅助线，题目综合性比较强，有一定的难度．