Question

如图：已知：在?ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点．
（1）试分析四边形AECF是什么四边形？并证明结论．
（2）当AB⊥AC时，四边形AECF是什么四边形？（不需证明）
（3）结合现有图形，请你添加一个条件，使其与原已知条件共同推出四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质推出AD∥BC，AD=BC，再求出AF=CE，AF∥CE，即可得到答案；
（2）连接EF，易证四边形ABEF是平行四边形，得到EF∥AB，推出EF⊥AC，故平行四边形AECF是菱形；
（3）根据矩形的判定即可推出答案．

解答：解：（1）四边形AECF是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=

1

2

AD，CE=

1

2

BC，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：当AB⊥AC时，四边形AECF是菱形．
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=

1

2

AD，BE=

1

2

BC，
∴AF=BE，AF∥BE，
∴四边形AFEB是平行四边形，
∴AB∥EF，
∵AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∵由（1）知：四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；

（3）添加的条件是∠AEC=90°．
理由是：∵四边形AECF是平行四边形，∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，矩形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能根据已知条件推出四边形AECF是平行四边形是解此题的关键．