Question

19．已知，FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点，连接EH、DH，求证：EH=DH，且EH⊥DH．

Answer 1

分析 如图，作CN∥EF交AB的延长线于N，交EH的延长线于M，连接DE，DM．由△HEF≌△HMC，推出CM=EF=AE，EH=HM，再证明△EAD≌△MCD，即可解决问题．

解答 证明：如图，作CN∥EF交AB的延长线于N，交EH的延长线于M，连接DE，DM．

在正方形ABCD和正方形AEFG中，∵EF=AE，AD=CD，∠EAG=∠DAB=∠ADC=90°，
∴∠EAD+∠NAG=180°，
∵EF∥CM，
∴∠HEF=∠HMC，
在△HEF和△HMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHF=∠MHC}\\{∠HEF=∠HMC}\\{FH=HC}\end{array}\right.$，
∴△HEF≌△HMC（AAS），
∴CM=EF=AE，EH=HM，
∵EF∥AG，EF∥CN，
∴AG∥CN，
∴∠N=∠NAG，
∵AN∥DK，
∴∠NCK=∠N=∠NAG，
∵∠DCM+∠NCK=180°，
∴∠EAD=∠MCD，
在△EAD和△MCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CM}\\{∠EAD=∠MCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△MCD（SAS），
∴DE=DM，∠EDA=∠MDC，
∴∠EDM=∠ADC=90°，
∵EH=HM，
∴DH⊥EH，DH=$\frac{1}{2}$EM=EH．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．