Question

18．如图所示，菱形ABCD的边长为2，BD=2$\sqrt{3}$，E是AD边的中点，点P是对角线BD上的一动点，当AP+PE的值最小时，PC的长为多少？

Answer 1

分析 作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，再由轴对称的性质可知DE=DE′=1，故可得出△AE′D是直角三角形，根据三角函数的定义得到∠PDE′=30°，根据锐角三角函数的定义求出PE的长，进而可得出PC的长．

解答 解：如图所示，
作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，
∵菱形ABCD的边长为2，E是AD边中点，
∴DE=DE′=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴△AE′D是直角三角形，
连接AC交BD于O，
∴BO=$\sqrt{3}$，
∴∠ADB=30°，
∴∠PDE′=∠ADB=30°，
∴PE′=DE′•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PC=$\sqrt{PE{′}^{2}+CE{′}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．