Question

15．如图，在三角形ABC中，AB=AC，点D在BC延长线上，点E在AC上，连接AD，连接BE并延长，交AD于F，连接FC，已知∠EBC=∠D．
（1）求证：AD•BC=BD•BE；
（2）点E在AC上什么位置时，FC垂直于BD？并证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据相似三角形定理得到△BEC∽△DAC，根据相似三角形的性质定理得到$\frac{AD}{BE}$=$\frac{BD}{BC}$，变形即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到BC=CD，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，又∠EBC=∠D，
∴△BEC∽△DAC，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴AD•BC=BD•BE；
（2）当FC⊥BD时，由∠EBC=∠D可知，BC=CD=$\frac{1}{2}$BD，
∵△BEC∽△DAC，
∴$\frac{EC}{AB}$=$\frac{BE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴点E在AC上的中点时，FC垂直于BD．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及等腰三角形的三线合一是解题的关键．