Question

Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ABC=∠DEC=90°，BE的延长线交AD于点F，求证：AF=DF．

Answer 1

考点：全等三角形的性质

专题：证明题

分析：连接CF．根据全等三角形的性质，得出∠ACB=∠DCE，BC=CE，AC=CD，进而得出∠BCE=∠ACD，∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠ADC从而证得A，B，C，F四点共圆，由于∠ABC=90°，证得AC是圆的直径，进一步证得∠AFC=90°，得出CF⊥AD，由于AC=CD，根据等腰三角形三线合一，从而证得AF=DF．

解答：证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，BC=CE，AC=CD，
∴∠BCE=∠ACD
∵BC=CE，AC=CD，
∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠ADC
∴A，B，C，F四点共圆
∵∠ABC=90°，
∴AC是圆的直径，
∴∠AFC=90°，
∵CF⊥AD，
∵CA=CD
∴AF=FD．

点评：本题考查了全等三角形的性质，四点共圆的判定，90°圆周角的性质，直径所对的圆周角的性质以及等腰三角形的性质等，作出辅助线，证得CF⊥AD是本题的关键．