Question

1．综合与实践：
下面是一个有关特殊平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：
已知在?ABCD中，∠ABC=120°，点D又是等边三角形DEF的一个顶点，DE与AB相交于点M，DF与BC相交于点N（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AB=BC，求证：BD=BM+BN；
（2）探究发现
如图2，若BC=2AB，过点D作DH⊥BC于点H，求证：∠BDC=90°．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的邻角互补得出∠A=∠C=60°．又AB=BC，可证△ABD，△BDC都是等边三角形，那么∠A=∠DBC=60°，∠ADB=60°，AD=BD．再证明∠ADM=∠BDN．根据ASA证明△ADM≌△BDN，得出AM=BN，进而得出BD=BM+BN；
（2）直角△DHC中，可求∠HDC=30°，设CH=x，则DC=2x，DH=$\sqrt{3}$x，那么BC=2AB=4x，BH=BC-HC=3x．利用勾股定理求出BD=$\sqrt{B{H}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，那么BD²+DC²=BC²，根据勾股定理的逆定理得出∠BDC=90°．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=60°．
∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=DA，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠A=∠DBC=60°，∠ADB=60°，AD=BD．
∵∠EDF=60°，
∴∠ADM+∠MDB=∠BDN+∠MDB=60°，
∴∠ADM=∠BDN．
在△ADM与△BDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DBN}\\{AD=BD}\\{∠ADM=∠BDN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDN，
∴AM=BN，
∴BD=AB=AM+MB=BN+MB，
即BD=BM+BN；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=60°．
∵DH⊥BC，∠C=60°，
∴∠DHC=90°，∠HDC=30°．
设CH=x，则DC=2x，DH=$\sqrt{3}$x，
∴BC=2AB=2DC=4x，
∴BH=BC-HC=3x．
∵DH⊥BC，
∴BD=$\sqrt{B{H}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴BD²+DC²=BC²，
∴∠BDC=90°．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形、等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，难度适中．