题目内容
如图，在直角标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点B、C的坐标分别为（-1，0）、（0，b），且0＜b＜3，直线l是过点B、C的直线，当点C在线段OC上移动时，过点A作AD⊥l交l于点D．（1）求点D、O之间的距离；
（2）如果S△BDA：S△BOC=a，试求a与b的函数关系式及a的取值范围；
（3）当∠ADO的正切值为
| 1 |
| 2 |
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）首先求得直线l和直线AD的解析式，解两个解析式组成的方程组求得D的左边，则OD的长度即可求得；
（2）首先证明△BDA∽△BOC，根据相似三角形的面积的比等于相似的比的平方即可得到a和b的函数关系；
（3）∠ADO的正切值为
时，据此即可求得AD的解析式中一次项系数的值，求得直线l的解析式，求得△AOE的面积，然后根据△AEO∽△ABD．求得△ABD的面积，则△ABD与△BOC重叠部分的面积即可求解．
（2）首先证明△BDA∽△BOC，根据相似三角形的面积的比等于相似的比的平方即可得到a和b的函数关系；
（3）∠ADO的正切值为
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，
则-k+b=0，解得：k=b，
则直线l的解析式是：y=bx+b，
∵AD⊥l，
则直线AD的解析式中一次项系数是：-
，
设直线AD的解析式是：y=-
x+c，把（1，0）代入解析式得：-
+c=0，则c=
，
则直线AD的解析式是：y=-
x+
，
根据题意得：
，
解得：
，
即D的坐标是：（
，
），
则OD=
=1；
（2）∵∠ADB=∠BOC，∠CBO=∠ABD，
∴△BDA∽△BOC，
∴
=（
）2=（
）2=
=a，
则a=
，
∵0＜b＜3，
∴
＜a＜4；
（3）当∠ADO的正切值为
时，直线l的解析式是：y=bx+b中b=2，则函数解析式是：y=2x+2．
则C的坐标是（0，2）．
直线AD的解析式是：y=-
x+
，则E的坐标是（0，
），
则S△AOE=
OA•OE=
×1×
=
，
AE=
=
，
∵△AEO∽△ABD，
∴
=（
）2=
=
，
∴S△ABD=
×
=
，
则△ABD与△BOC重叠部分的面积是：
-
=
．
则-k+b=0，解得：k=b，
则直线l的解析式是：y=bx+b，
∵AD⊥l，
则直线AD的解析式中一次项系数是：-
| 1 |
| b |
设直线AD的解析式是：y=-
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
则直线AD的解析式是：y=-
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
根据题意得：
|
解得：
|
即D的坐标是：（
| 1-b2 |
| b2+1 |
| 2b |
| b2+1 |
则OD=
(
|
（2）∵∠ADB=∠BOC，∠CBO=∠ABD，
∴△BDA∽△BOC，
∴
| S△BDA |
| S△BOC |
| AB |
| BC |
| 2 | ||
|
| 4 |
| 1+b2 |
则a=
| 4 |
| 1+b2 |
∵0＜b＜3，
∴
| 2 |
| 5 |
（3）当∠ADO的正切值为
| 1 |
| 2 |
则C的坐标是（0，2）．
直线AD的解析式是：y=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则S△AOE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
AE=
(
|
| ||
| 2 |
∵△AEO∽△ABD，
∴
| S△AEO |
| S△ABD |
| AE |
| AB |
| ||
| 4 |
| 5 |
| 16 |
∴S△ABD=
| 16 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
则△ABD与△BOC重叠部分的面积是：
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 11 |
| 20 |
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，正确应用相似三角形的性质是关键．
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