Question

已知关于x的一元二次方程（k-1）x²-2kx+k+2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是一元二次方程的两个实数根，且满足

1

x1

+

1

x2

=-2，求k的值，并求此时方程的解．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的定义,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据根的判别式可得△=（-2k）²-4（k-1）（k+2），进而可判断△＞0，从而可判断此方程有两个不相等的实数根；
（2）先根据根与系数的关系计算x₁+x₂，x₁•x₂的值，而

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-2，可把x₁+x₂，x₁•x₂的值代入，进而可求出k，进一步求得方程的解即可．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程（k-1）x²-2kx+k+2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）=-4k+8＞0，且k-1≠0，
解得：k＜2，k≠1．
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

2k

k+2

=-2，
解得：k=-1，
∴方程为-2x²+2x+1=0
解得：x₁=-1+

3

，x₂=-1-

3

．

点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键．