Question

18．已知y=x（x+3-a）+1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y有最大值10，则实数a的值是$\frac{31}{5}$．

Answer 1

分析 先表示出二次函数的对称轴，再根据对称轴的位置根据二次函数的增减性列方程求解即可．

解答 解：∵y=x（x+3-a）+1=x²+（3-a）x+1，
∴二次函数的对称轴为直线x=-$\frac{3-a}{2}$=$\frac{a-3}{2}$，
若$\frac{a-3}{2}$＜$\frac{1+5}{2}$，即a＜9，则x=5时，y有最大值10，
所以，5×（5+3-a）+1=10，
解得a=$\frac{31}{5}$；
若$\frac{a-3}{2}$＞$\frac{1+5}{2}$，即a＞9，则x=1时，y有最大值10，
所以，1×（1+3-a）+1=10，
解得a=-5（舍去），
综上所述，a的值是$\frac{31}{5}$．
故答案为：$\frac{31}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，难点在于根据对称轴分情况讨论．