Question

15．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=6，BC=8，MN=2．
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长；
（3）△ABC是不是直角三角形，为什么？

Answer 1

分析 （1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=6，从而计算周长即可；
（3）直接根据勾股定理进行判断即可．

解答 （1）证明：在△ABN和△ADN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AN=AN}\\{∠ANB=∠AND}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN=DN．

（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=6，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=4，
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=6+8+4+6=24；

（3）解：∵AB=6，△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=6．
∵CD=4，
∴AC=AD+CD=6+4=10，
∵6²+8²=10²，即AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．