如图.△ABC中.∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．(1)当∠A为70°时.∵∠ACD-∠ABD=∠A∴∠ACD-∠ABD=70°∵BA1.CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1CD-∠A1BD=$\frac{1}{2}$∴∠A1=35°,(2)∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2.∠A2BC与A2CD的平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A₁．

（1）当∠A为70°时，
∵∠ACD-∠ABD=∠A
∴∠ACD-∠ABD=70°
∵BA₁、CA₁是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A₁CD-∠A₁BD=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABD）
∴∠A₁=35°；
（2）∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于A₂，∠A₂BC与A₂CD的平分线交于A₃，如此继续下去可得A₄、…、A_n，请写出∠A与∠A_n的数量关系∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；
（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=25°．
（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A₁的值为定值；②∠Q-∠A₁的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

分析（1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠BAC=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出规律；
（3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，从而得出结论；
（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A₁=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A₁和∠Q的关系．

解答解：（1）当∠A为70°时，
∵∠ACD-∠ABD=∠A，
∴∠ACD-∠ABD=70°，
∵BA₁、CA₁是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线，
∴∠A₁CD-∠A₁BD=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABD）
∴∠A₁=35°；
故答案为：A，70，35；

（2）∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A₁=80°，
∴∠A₁=40°，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠BAC=2²∠A₂=80°，
∴∠A₂=20°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，即∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，
故答案为：∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A．

（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，
∴360°-（α+β）=180°-2∠F，
2∠F=∠A+∠D-180°，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
故答案为：25°．

（4）①∠Q+∠A₁的值为定值正确．
∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA₁、CA₁是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BD=$\frac{1}{2}$∠BAC，（1分）
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC+∠QCE=$\frac{1}{2}$（∠AEC+∠ACE）=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠Q+∠A₁=180°．