Question

1．如图1所示，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张全等的三角形（如图2所示），量得AB=DE=10，EF=BC=5，∠A=∠D=30°，再将这两张三角形纸片摆成如图3所示的形状，点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示），小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． 
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4位置，使点B与点F重合，平移的距离为5．
（2）将图3中的△ABF绕点F按顺时针方向旋转到图5的位置，且A₁F垂直DE于点G，则旋转的角度为30°． 
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB₁交DE于点H，仔细观察，合理操作，完成下列问题：
①写出图中全等的三角形（虚线部分除外）：△AB₁F≌△DEF，△AEH≌△DB₁H；
②写出图中相等的线段（虚线部分除外）：AF=DF，EF=FB₁，AE=B₁D，AH=DH，EH=B₁H；
③若连接FH，则∠AFH的度数为45°．

Answer 1

分析 先根据含30°的直角三角形三边的关系得到FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=$\sqrt{3}$EF=5$\sqrt{3}$．
（1）根据平移的性质得到FC₁=BF，从而得到平移的距离；
（2）根据三角形的内角和得到∠GFD=60°，求得∠AFA₁=30°，于是得到结论；
（3）①根据折叠的性质得到B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=∠DEF=60°，AB₁=AB=DE，于是得到DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，于是得到结论；
②根据全等三角形的性质和折叠的性质即可得到结论；
③连接AD，FH交AD于G，根据线段作出平分线的性质得到F，H在线段AD的垂直平分线上，根据角平分线的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=$\sqrt{3}$EF=5$\sqrt{3}$．
如图4，FC=BF=5，
所以△ABC沿BD向右平移的距离为5；
故答案为：5；
（2）∵A₁F⊥DG，
∴∠DGF=90度，
∵∠D=30°，
∴∠GFD=60°，
∵∠DFE=90°，
∴∠AFA₁=30°，
∴旋转的角度为30°，
故答案为：30°；
（3）①△AB₁F≌△DEF，△AEH≌△DB₁H，
∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，
∴B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=∠DEF=60°，AB₁=AB=DE，
∴DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，
而∠DHB₁=∠AHE，
在△DB₁H与△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D{B}_{1}H=∠AEH}\\{D{B}_{1}=AE}\\{∠DH{B}_{1}=∠AHE}\end{array}\right.$，
∴△DB₁H≌△AEH，
∴AH=DH；
在Rt△AFB₁与Rt△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=F{B}_{1}}\\{A{B}_{1}=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFB₁≌Rt△DEF；
∴AF=DF，
②由①得，AF=DF，EF=FB₁，AE=B₁D，AH=DH，EH=B₁H；
③连接AD，FH交AD于G，
∵AF=DF，AH=DH，
∴F，H在线段AD的垂直平分线上，
∴FH平分∠AFD，
∵∠AFD=90°，
∴∠AFH=45°，
故答案为：△AB₁F≌△DEF，△AEH≌△DB₁H，AF=DF，EF=FB₁，AE=B₁D，AH=DH，EH=B₁H；45°．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了平移和旋转的性质以及含30°的直角三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质．