题目内容
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B两点（A在B的左边），顶点D的纵坐标为-4．（1）求抛物线的解析式
（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，AP交y轴于点C，点C的纵坐标为t，连接AD、PD．△APD的面积为S，求S与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，过点P作对称轴L的垂线段，垂足为点E，将射线PA沿PE折叠，折叠后对称的直线分别交对称轴L、抛物线于点F、G，过点G作对称轴L的垂线段，垂足为点H，PE•GH=12，点M在抛物线上，过点M作y轴的平行线交AP于点N，若AN=MN，求点M的横坐标．
分析 （1）首先求出A、B两点坐标，推出顶点坐标D（1，-4）代入抛物线的解析式求出a即可．
（2）根据A（-1，0），C（0，t）两点坐标求出直线AP的解析式，利用方程组求出点P坐标，再根据S=S△AKD+S△PKD计算即可．
（3）假设直线PG的解析式为y=-tx+b′，把P（t+3，t2+4t），代入得到b′=2t2+7t，推出直线PG的解析式为y=-tx+2t2+7t，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-tx+2{t}^{2}+7t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=t+3}\\{y={t}^{2}+4t}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2t-1}\\{y=4{t}^{2}+8t}\end{array}\right.$，推出点G坐标（-2t-1，4t2+8t），推出PE=t+2，GH=2t+2，由PE•GH=12，得到（t+2）（2t+2）=12，推出P（4，5），直线AP的解析式为y=x+1，设M（m，m2-2m-3），则N（m，m+1），根据AN=MN列出方程即可解决问题．
解答 解：（1）对于抛物线y=ax2-2ax-3a，令y=0，得到ax2-2ax-3a=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴x=1，顶点D坐标为（1，-4），
把D（1，-4）代入y=ax2-2ax-3a，得到a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）如图2中，设PA与抛物线的对称轴交于点K．
设直线AP的解析式为y=kx+b，把A（-1，0），C（0，t）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=t}\\{b=t}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=tx+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=tx+t}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=t+3}\\{y={t}^{2}+4t}\end{array}\right.$，
∴点P坐标（t+3，t2+4t），K（1，2t），
∴S=S△AKD+S△PKD=$\frac{1}{2}$•（2t+4）•（t+3+1）=t2+6t+8（t＞0）．
（3）如图3中，
∵PE⊥抛物线的对称轴，PG与PA关于PE对称，
∴可以假设直线PG的解析式为y=-tx+b′，把P（t+3，t2+4t），代入得到b′=2t2+7t，
∴直线PG的解析式为y=-tx+2t2+7t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-tx+2{t}^{2}+7t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=t+3}\\{y={t}^{2}+4t}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2t-1}\\{y=4{t}^{2}+8t}\end{array}\right.$，
∴点G坐标（-2t-1，4t2+8t），
∴PE=t+2，GH=2t+2，
∵PE•GH=12，
∴（t+2）（2t+2）=12，
∴t=1或-4（舍弃），
∴P（4，5），直线AP的解析式为y=x+1，设M（m，m2-2m-3），则N（m，m+1）
∵AN=NM．
∴$\sqrt{2}$（m+1）=m+1-（m2-2m+3），
∴m2+（$\sqrt{2}$-3）m+$\sqrt{2}$-4=0，
∴（m+1）（m+$\sqrt{2}$-4）=0，
∴m=4-$\sqrt{2}$或-1（舍弃），
∴点M的横坐标为4-$\sqrt{2}$．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、三角形面积、方程组等知识，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BC=4，∠BCD=30°，BD=2．
如图，已知直线y=2x+4与直线y=kx+b交于点M（-1，a），则关于x，y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+4=0}\\{kx-y+b=0}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$．