Question

14．观察下列方程及解的特征：
（1）x+$\frac{1}{x}$=2的解为x₁=x₂=1；
（2）x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$的解为x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；
（3）x+$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{3}$的解为x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$；     …
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+$\frac{1}{x}$=$\frac{26}{5}$的解为x₁=5，x₂=$\frac{1}{5}$；；
（2）请猜想：关于x的方程x+$\frac{1}{x}$═a+$\frac{1}{a}$ 的解为x₁=a，x₂=$\frac{1}{a}$（a≠0）；
（3）下面以解方程x+$\frac{1}{x}$=$\frac{26}{5}$为例，验证（1）中猜想结论的正确性．

Answer 1

分析 （1）方程变形后，根据阅读材料中的方法确定出解即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验得到分式方程的解，验证即可．

解答 解：（1）方程整理得：x+$\frac{1}{x}$=5+$\frac{1}{5}$，其解为x₁=5，x₂=$\frac{1}{5}$；
（2）猜想得：x+$\frac{1}{x}$=a+$\frac{1}{a}$的解为x₁=a，x₂=$\frac{1}{a}$（a≠0），
故答案为：（1）x₁=5，x₂=$\frac{1}{5}$；（2）a+$\frac{1}{a}$；
（3）去分母得：5x²-26x+5=0，即（5x-1）（x-5）=0，
解得：x₁=5，x₂=$\frac{1}{5}$，
经检验x₁=5，x₂=$\frac{1}{5}$都是分式方程的解．

点评 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．