Question

19．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=2xcm，BP=AB-AP=（10-2x）cm，又由∠B是公共角，分别从当$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$与当$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$去分析，即可求得答案．

解答 解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=2xcm，
∵AB=10cm，BC=20cm，
∴BP=AB-AP=（10-2x）cm，
∵∠B是公共角．
∵①当$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{10-2x}{10}$=$\frac{2x}{20}$时，△PBQ∽△ABC，解得x=$\frac{10}{3}$；
②当$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{10-2x}{20}$=$\frac{2x}{10}$时，△QBP∽△ABC，解得x=$\frac{5}{3}$．
∴经$\frac{10}{3}$或$\frac{5}{3}$秒时，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．