Question

18．已知关于x的一元二次方程x²+（k+1）x-k-3=0
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一根为2，求另一根的值．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可．△=（k+1）²-4（-k-3）=k²+6k+13=（k+3）²+4，因为（k+3）²≥0，可以得到△＞0；
（2）将x=2代入方程x²+（k+1）x-k-3=0，求出k的值，进而得出方程的解．

解答 （1）证明：∵△=（k+1）²-4（-k-3）=k²+6k+13=（k+3）²+4，
而（k+3）²≥0，
∴△＞0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是2，
∴2²+2（k+1）-k-3=0，
解得：k=-3，
∴原方程为：x²-2x=0，
解得：x₁=2，x₂=0．
方程的另一个根是0．

点评 此题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．