Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，O为边AB上的一点，以O为圆心，以OA为半径，作⊙O，交AB于点D，交AC于点E，交BC于点F，且点F恰好是ED的中点，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为10，AE=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OF，AF，由题意得出$\widehat{EF}=\widehat{FD}$，由圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠1=∠3，证出AC∥OF，得出∴∠BFO=∠ACB=90°，即可得出结论；
（2）连接ED，交OF于H，由圆周角定理得出∠AED=90°，由勾股定理求出ED=8，证明四边形ECFH为矩形，得出∠EHO=90°，OF⊥ED，由三角形中位线定理得出$OH=\frac{1}{2}AE=3$，求出HF=5-3=2，得出${S_{△ECF}}=\frac{2×4}{2}=4$，证出阴影部分的面积与△CEF的面积相等，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OF，AF如图，
∵F为$\widehat{ED}$的中点，
∴$\widehat{EF}=\widehat{FD}$，
∴∠1=∠2，∵AO=FO，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AC∥OF∴∠BFO=∠ACB=90°，
∵F为⊙O上一点，
∴BC为⊙O的切线；
（2）连接ED，交OF于H，如图，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，$ED=\sqrt{A{D^2}-A{E^2}}$=8，
∵∠AED=90°=∠ACF=∠BFO，
∴四边形ECFH为矩形，
∴∠EHO=90°，OF⊥ED，
∴H为ED的中点，
∴EH=4，
∵O为AD的中点，
∴$OH=\frac{1}{2}AE=3$，
∴HF=5-3=2，
${S_{△ECF}}=\frac{2×4}{2}=4$，
∵$\widehat{EF}=\widehat{FD}$，
∴弓形FD与弓形EF全等∴阴影部分的面积与△CEF的面积相等，
故图中阴影部分的面积为4．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度．