Question

如图，Rt△ABC中∠C=90°且AC=CD=

2

，又E、D为CB的三等分点．
（1）求证△ADE∽△BDA；
（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE则使线段PE的长度为整数的点的个数

 

．（直接写答案无需说明理由）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用勾股定理求得AD、DE的长，再根据BD、AD的长，利用两边对应相等，且夹角相等的两个三角形相似，即可判断；
（2）利用相似三角形的对应角相等以及三角形的外角的性质即可判断；
（3）作EF⊥AB于点F，利用△ABC∽△EBF，求得EF的长，即可确定PE的长的范围，从而求解．

解答：解：（1）证明：∵AC=CD=

2

，
∴AD=

AC2+CD2

=2，
∴在△ADE和△BDA中，

AD

DE

=

2

2

=

2

，

BD

AD

=

2 2

2

=

2

，
∴

AD

DE

=

BD

AD

，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA；
（2）证明：∵△ADE∽△BDA，
∴∠ADE=∠BAD，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠B+∠AEC；
（3）作EF⊥AB于点F．
在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

( 2 )2+(3 2 )2

=2

5

．
∵∠BFE=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBF，
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

2

=

2

2 5

，
解得：EF=

5

5

＜1．
又∵BE=

2

，AE=

AC2+CE2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

，
则

5

5

≤PE≤

10

，PE的整数值是1或2．
则当PE=1时，P的位置有2个；
当PE=2时，P的位置有1个．
故PE的整数点有3个．
故答案是：3．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，利用相似三角形的性质求得PE的范围是关键．