Question

5．如图，斜坡AB的坡度为1：2.4，长度为26m，在坡顶B所在的平台上有一座电视塔CD，已知在A处测得塔顶D的仰角为45°，在B处测得塔顶D的仰角为73°，求电视塔CD的高度．
（参考数值：sin73°≈$\frac{19}{20}$，cos73°≈0.$\frac{29}{100}$，tan73°≈$\frac{10}{3}$）

Answer 1

分析 延长DC 交AM于F，作BE⊥AM于E．首先证明四边形BCEF是矩形，由题意BE：AE=1：2.4，在Rt△ABE中，根据AB=26，由勾股定理可得BE=10，AE=24，在Rt△BCD中，可知tan73°=$\frac{DC}{BC}$，推出$\frac{10}{3}$=$\frac{DC}{BC}$，推出DC=$\frac{10}{3}$BC，在Rt△AFD中，由∠DAF=45°，可知AF=DF，可得24+BC=10+$\frac{10}{3}$BC，解方程求出BC即可解决问题．

解答 解：延长DC 交AM于F，作BE⊥AM于E．
∵DF⊥BC，DF⊥AM，
∴∠AEB=∠AFD=∠DCB=∠BCF=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BC=EF，BE=CF，
由题意BE：AE=1：2.4，
在Rt△ABE中，∵AB=26，
由勾股定理可得BE=10，AE=24，
在Rt△BCD中，∵∠DBC=73°，
∴tan73°=$\frac{DC}{BC}$，
∴$\frac{10}{3}$=$\frac{DC}{BC}$，
∴DC=$\frac{10}{3}$BC，
在Rt△AFD中，∵∠DAF=45°，
∴AF=DF，
∴24+BC=10+$\frac{10}{3}$BC，
∴BC=6，DC=20，
答：电视塔CD的高度为20m．

点评 本题考查解直角三角形-仰角、坡度问题、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．