Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$，BC=4，以AC为边在AC的右侧作正方形ACDE，连接BE，求BE的长．

Answer 1

分析 作BM⊥DE于M，交CA的延长线于N，作AF⊥BC于F，在Rt△BEM中，想办法求出BM、EM即可解决问题．

解答 解：如图，作BM⊥DE于M，交CA的延长线于N，作AF⊥BC于F．

∵AF⊥BC，∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$，
∴BF=AF=1，
∵BC=4，
∴CF=3，AC=$\sqrt{A{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AF=$\frac{1}{2}$•AC•BN，
∴BN=$\frac{AF•BC}{AC}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$，
∵四边形AEDC是正方形，
∴AC=CD=DE=AE=$\sqrt{10}$，
∵∠M=∠MEA=∠NAE=90°，
∴四边形ANME是矩形，
∴AN=EM=$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$，EN=AE=$\sqrt{10}$，
在Rt△BEM中，∵BM=$\frac{7}{5}$$\sqrt{10}$，EM=$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$，
∴BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{5}\sqrt{10}）^{2}+（\frac{1}{5}\sqrt{10}）^{2}}$=10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，学会利用面积法求三角形的高，属于中考常考题型．