Question

5．如图，矩形OABC在坐标系中，OA＞OC，矩形面积为12，对角线AC的长为5．
（1）求A，C的坐标；
（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE=1，求直线EF的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的面积公式和勾股定理列出关于OA和OC的方程组，求得可解得OA和OC的长度；
（2）利用中点坐标公式求得点D的坐标，由点D和点E的坐标利用待定系数法求得直线EF的解析式即可；
（3）分别以DC、DF；CD、CF；CF、DF为一组邻边求得点G的坐标即可．

解答 解：（1）由矩形的面积公式可知：OA•OC=12，
在Rt△COA中由勾股定理得：OA²+OC²=25．
解得：AO=4，OC=3．
∴点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）．
（2）∵点D为AC的中点，
∴点D的坐标为（2，1.5）．
∵OE=1，
∴点E的坐标为（0，-1）．
设直线EF的解析式为y=kx+b，将点D和点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1.5}\\{b=-1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴直线EF的解析式为y=$\frac{5}{4}x$-1．
（3存在．
理由：∵点F在BC上，
∴点F的纵坐标为3．
将y=3代入y=$\frac{5}{4}x$-1得：$\frac{5}{4}x$-1=3．
解得：x=$\frac{16}{5}$．
∴点F的坐标为（$\frac{16}{5}$，3）．
①如图1所示；

∵四边CDFG为平行四边形，
∴GM=MD，CM=MF．
∴点M的坐标为（$\frac{8}{5}$，3）．
设点G的坐标为（x，y）．
∴$\frac{x+2}{2}=\frac{8}{5}$，$\frac{y+1.5}{2}=3$．
解得：x=$\frac{6}{5}$，y=4.5．
∴点G的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{9}{2}$）．
②如图2所示；

∵点F的坐标为（$\frac{16}{5}$，3）．
∴CF=$\frac{16}{5}$．
∵四边形CGDF为平行四边形，
∴CF∥GD，CF=DG．
∴点G的坐标为（-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{2}$）．
③如图3所示

∵四边形CDGF为平行四边形，
∴CF∥GD，CF=DG．
∴点G的坐标为（$\frac{26}{5}$，$\frac{3}{2}$）．
综上所述，点G的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{9}{2}$）或（$-\frac{6}{5}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{26}{5}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查的是平行四边形的性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的应用，矩形的面积公式以及解二元二次方程组，分类画出图形是解题的关键．