Question

如图，点B（3，3）在双曲线y=

9

x

（x＞0）上，点D在双曲线y=-

4

x

（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，且点A、B、C、D构成的四边形为正方形．
（1）求证：△ADM≌△BAN；
（2）求点A的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到AD=AB，且∠DAB为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS即可得证；
（2）由第一问的结论得到DM=AN，AM=BN，根据B的坐标得到ON=BN=3，设A（a，0），即OA=a，由ON-OA表示出AN，即为DM，为D的纵坐标，代入反比例解析式表示出横坐标，确定出OM，由OM+OA表示出AM，根据AM=BN=3求出a的值，即可确定出A坐标．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠DAM+∠BAN=90°，
∵∠MDA+∠DAM=90°，
∴∠MDA=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，

∠AMD=∠BNA=90° ∠MAD=∠BAN AD=BA

，
∴△ADM≌△BAN（AAS）；
（2）解：∵△ADM≌△BAN，
∴AN=DM，BN=AM，
设A（a，0），即OA=a，
∵B（3，3），
∴BN=ON=3，
∴DM=AN=ON-OA=3-a，
把y=3-a代入y=-

4

x

得：x=-

4

3-a

，即OM=

4

3-a

，
∴BN=AM=OM+OA=

4

3-a

+a=3，
解得：a=1或a=5（不合题意，舍去），
则A（1，0）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．