Question

6．如图，已知AB为⊙O直径，D是$\widehat{BC}$的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

Answer 1

分析 （1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；
（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．

解答 （1）证明：连接OD，BC，
∵D是弧BC的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵D是弧BC的中点，
∴$\widehat{DC}$=$\widehat{DB}$，
∴∠EAD=∠BAD，
∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，
∴DE=DG=4，
∵DO=5，
∴GO=3，
∴AG=8，
∴tan∠ADG=$\frac{8}{4}$=2，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF=90°，
∴DG∥BF，
∴tan∠F=tan∠ADG=2．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．