Question

11．如图，在正方形ABCD中，点P为AB上一点，AQ⊥DP交BC于点Q，以AQ为边作平行四边形ABHQ，过点C作CF⊥DP于点F，点O为正方形对角线的交点，连OF，则下列结论：
①BH=DP；
②EF=$\sqrt{2}$OF；
③OF∥BE；
④若正方形的边长为2，则BE的最小值为$\sqrt{5}$-1；
其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①证明△DAP≌△ABQ，得AQ=PD；由?ABHQ得：AQ=BH，所以BH=PD；
②作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△CDF和△DOE≌△COF，得出△FOE是等腰直角三角形，从而得出结论；
③由图形可知：∠OEB不一定等于90°，如图2，所以OF与BE不一定平行；
④作辅助线，设BE=x，BG=a，如图3，当BE=BQ时，BE最小，证明△AED≌△BGA和△AEP≌△BGQ，
得AP=BQ、BG=AE，分别表示出BG、GQ、AG的长，利用直角三角形相似所得关系式：BG²=QG•AG，代入列方程解出x的值即可．

解答 解：①如图1，在正方形ABCD中，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAQ+∠QAB=90°，
∵AQ⊥PD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAQ+∠ADP=90°，
∴∠QAB=∠ADP，
∴△DAP≌△ABQ，
∴AQ=PD，
∵四边形ABHQ是平行四边形，
∴BH=AQ，
∴BH=PD；
所以此选项正确；
②如图1，连接OD、OC、OE，则OD=OC，
∵∠ADE+∠EDC=90°，∠DCF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∵∠ADO=∠DCO=45°，
∴∠EDO=∠FCO，
∵AD=DC，∠AED=∠DFC=90°，
∴△DAE≌△CDF，
∴CF=DE，
∴△DOE≌△COF，
∴OE=OF，∠DOE=∠COF，
∴∠DOE-∠DOF=∠COF-∠DOF，
即：∠FOE=∠DOC，
∵∠DOC=90，
∴∠FOE=90°，
∴△FOE是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$OF；
所以此选项正确；
③当∠OEB=∠FOE=90°时，OF∥BE，
但∠OEB不一定等于90°，如图2，∠OEB＜90°，
所以此选项不正确；
④如图3，当BE=BQ时，BE最小，
过B作BG⊥AQ于Q，
则△AED≌△BGA，
∴AE=BG，
∵∠EAP+∠AQB=90°，∠GBQ+∠AQB=90°，
∴∠EAP=∠GBQ，
∵∠AEP=∠BGQ=90°，
∴△AEP≌△BGQ，
∴BQ=AP，
设BE=x，BG=a，则BQ=AP=x，AE=a，
∵PE∥BG，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{EP}{BG}$，
∴$\frac{x}{2}=\frac{EP}{a}$，
∴EP=$\frac{ax}{2}$，
∵BE=BQ，BG⊥AQ，
∴EG=GQ=PE=$\frac{ax}{2}$，
在Rt△ABG中，BG²=QG•AG，
${a}^{2}=\frac{ax}{2}（a+\frac{ax}{2}）$，
解得：x=-1±$\sqrt{5}$，
x₁=-1-$\sqrt{5}$（舍去），x₂=-1+$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{5}$-1，
即若正方形的边长为2，则BE的最小值为$\sqrt{5}$-1；
所以此选项正确；
所以本题正确的结论有3个，故选B．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、等腰三角形等图形的性质，综合性较强；在几何证明中如果结论出现$\sqrt{2}$倍的数量关系，可以考虑证明相关三角形为等腰直角三角形即可得出结论；对于求最值问题，此类题的解题思路为：①首先弄清图形中动点的位置及运动的路径，本题动点是P，在AB上运动；②画图观察动点在哪一位置时BE值最小，③设未知数，找等量关系列方程或求出函数关系式．