题目内容
如图1，在△ACD中，AC=2DC，AD=
DC ．
（1）求∠C的度数；
（2）如图2，延长CA到E，使AE=CD，延长CD到B，使DB=CE，AB、ED交于点O．求证：∠BOD=45º ；
（3）如图3，点F、G分别是AC、BC上的动点，且S△CFG=S四边形AFGB ， 作FM∥BC，GN∥AC，分别交AB于点M、N，线段AM、MN、NB能否始终组成直角三角形？给出你的结论，并说明理由．
（1）用勾股定理逆定理，说明∠C＝90º.
（2）作DP⊥AB于P，EQ⊥AB与Q，则DP∥EQ，∴△OPD∽△OQE …
不妨设CD＝x（x＞0），则AC＝2x，BD＝3x，BC＝4x，DE＝
x
且DP＝
x，EQ＝
x，∴
＝
＝
∴OD＝
DE＝
………………… (5分)
∴在Rt△OPD中，sin∠BOD＝
＝
∴∠BOD＝45º. ……………… (6分)
（3）延长FM、GN，交于点H，可得矩形CFHG. …… (7分)
则S△HFG＝S△CFG＝S四边形AFGB，于是S△AFM＋S△BGN＝S△HMN …… (8分)
而△AFM∽△NGB∽△NHM，且S△AFM:S△BGN:S△HMN＝AM2:BN2:MN2，
设S△AFM＝kAM2，S△BGN＝kBN2，S△HMN＝kMN2，（k＞0）
∴kAM2＋kBN2＝kMN2，即AM2＋BN2＝MN2 
…… (9分)
故线段AM、MN、NB能始终组成直角三角形.………… (10分)
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