Question

如图：两张宽度都为9cm的纸条交叉重叠在一起，其中∠α=60°，求重叠（阴影）部分的面积？（结果保留根号）

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．

解答：解：如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为9，
∴AE=AF=9，
在△ABE和△ADF中，

∠ABE=∠ADF=α ∠AEB=∠AFD=90° AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵

AE

AB

=sinα，∠α=60°，
∴BC=AB=

9

3 2

=6

3

，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=6

3

×9=54

3

．

点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．