题目内容
已知：关于x的一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1-3x2，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
考点：一次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）列式表示出根的判别式△，再根据△＞0，方程有两个不相等的实数根证明；
（2）利用求根公式法求出x1、x2，然后代入关系式整理即可得解；
（3）作出函数图象，然后求出m=2时的函数值与以及m=1时的翻折图象的对应点的坐标，再代入直线解析式求出b值，然后结合图形写出b的取值范围即可．
（2）利用求根公式法求出x1、x2，然后代入关系式整理即可得解；
（3）作出函数图象，然后求出m=2时的函数值与以及m=1时的翻折图象的对应点的坐标，再代入直线解析式求出b值，然后结合图形写出b的取值范围即可．
解答：（1）证明：△=（4m+1）2-4m（3m+3）=4m2-4m+1=（2m-1）2，
∵m＞1，
∴（2m-1）2＞0，
∴方程有两个不等实根；
（2）解：x=
，
∴两根分别为
=3，
=1+
，
∵m＞1，
∴0＜
＜1，
∴1＜1+
＜2，
∵x1＞x2，
∴x1=3，x2=1+
，
∴y=x1-3x2，
=3-3（1+
），
=-
，
所以，这个函数解析式为y=-
（m＞1）；
（3）解：作出函数y=-
（m＞1）的图象，并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，
m=2时，y=-
，
m=1时，y=-
=-3，
∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后的两端点坐标为（3，-3），（2，-
），
当m=3时，2×3+b=-3，
解得b=-9，
当m=2时，2×2+b=-
，
解得b=-
，
所以，此图象有两个公共点时，b的取值范围-9＜b＜-
．
∵m＞1，
∴（2m-1）2＞0，
∴方程有两个不等实根；
（2）解：x=
4m+1±
| ||
| 2m |
∴两根分别为
| 4m+1+2m-1 |
| 2m |
| 4m+1-2m+1 |
| 2m |
| 1 |
| m |
∵m＞1，
∴0＜
| 1 |
| m |
∴1＜1+
| 1 |
| m |
∵x1＞x2，
∴x1=3，x2=1+
| 1 |
| m |
∴y=x1-3x2，
=3-3（1+
| 1 |
| m |
=-
| 3 |
| m |
所以，这个函数解析式为y=-
| 3 |
| m |
（3）解：作出函数y=-
| 3 |
| m |
m=2时，y=-
| 3 |
| 2 |
m=1时，y=-
| 3 |
| 1 |
∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后的两端点坐标为（3，-3），（2，-
| 3 |
| 2 |
当m=3时，2×3+b=-3，
解得b=-9，
当m=2时，2×2+b=-
| 3 |
| 2 |
解得b=-
| 11 |
| 2 |
所以，此图象有两个公共点时，b的取值范围-9＜b＜-
| 11 |
| 2 |
点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了根的判别式，求根公式法解一元二次方程，一次函数与反比例函数交点问题，难点在于（3）确定出翻折部分的两个端点的坐标以及有两个交点时的b的取值范围，作出图形更形象直观．
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