Question

如图，过Rt△ABC的直角顶点C作它的外接⊙O的切线CD，BD⊥CD，D是垂足，AD交⊙O于E．求证：
（1）

BD

BC

=

BC

AB

；
（2）BD²=AB•BD-AD•DE；
（3）若AB=5，BD=1，AE：ED=7：1，求AC、CE．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据圆周角定理的逆定理可得AB为⊙的直径，OC为半径，再根据切线的性质由CD为⊙的切线得到OC⊥CD，加上BD⊥CD，则OC∥BD，所以∠CBD=OCB，而∠OCB=∠OBC，所以∠ABC=∠CBD，根据相似三角形的判定得到Rt△CDB∽Rt△ACB，然后利用相似的性质即可得到

BD

BC

=

BC

AB

；
（2）证明：作直径CG，连接GE，如图，利用比例性质由

BD

BC

=

BC

AB

得到BC²=BD•AB，再证明△DCE∽△DAC得到DC²=DE•DA，在Rt△BDC中，根据勾股定理得BD²=BC²-CD²，所以BD²=AB•BD-AD•DE；
（3）解：由BC²=BD•AB可计算出BC=

5

，再根据勾股定理，在Rt△ABC中，计算出AC=2

5

，在Rt△BDC中，计算出CD=2，然后利用DC²=DE•DA，AE：ED=7：1，
得到2²=ED•（ED+7DE），则可计算出DE=

2

2

，于是得到AD=8DE=4

2

，接着由△DCE∽△DAC，利用相似比可计算出CE．

解答：（1）证明：∵△ABC为直角三角形，
∴AB为⊙的直径，OC为半径，
∵CD为⊙的切线，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，∠BDC=90°，
∴∠CBD=OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ABC=∠CBD，
∴Rt△CDB∽Rt△ACB
∴

BD

BC

=

BC

AB

；
（2）证明：作直径CG，连接GE，如图，
∵

BD

BC

=

BC

AB

，
∴BC²=BD•AB，
∵CG为直径，
∴∠CEG=90°，
∴∠G+∠GCE=90°，
∵∠A=∠G，∠GCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠A，
而∠CDE=∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD：AD=DE：CD，
∴DC²=DE•DA，
在Rt△BDC中，BD²=BC²-CD²，
∴BD²=AB•BD-AD•DE；
（3）解：∵BC²=BD•AB，
∴BC²=1×5=5，即BC=

5

，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=2

5

；
在Rt△BDC中，CD=

BC2-BD2

=2，
∵DC²=DE•DA，AE：ED=7：1，
∴2²=ED•（ED+7DE），
∴DE=

2

2

，
∴AD=8DE=4

2

∵△DCE∽△DAC，
∴

CE

AC

=

CD

DA

，即

CE

2 5

=

2

4 2

，
∴CE=

10

2

．
答：AC为2

5

，CE为

10

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质定理；会运用相似三角形的判定与性质证明等积式和计算线段的长；会运用勾股定理计算线段的长．