Question

如图，四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）试探究：当矩形ABCD边长满足什么关系时，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,正方形的判定

专题：

分析：（1）根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=DC，根据菱形的四条边都相等可得AE=DE，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△DCE全等即可；
（2）BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，然后求出AB=BE，从而求出∠BAE=∠AEB=45°，同理可得∠DEC=45°，然后求出∠AED=90°，最后根据有一个角是90°的菱形是正方形判断．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵四边形AEDF为菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，

AB=DC AE=DE

，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；

（2）解：当BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．
理由：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
同理可得，∠DEC=45°，
∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
∴∠AED=180°-∠AEB-∠DEC=90°，
∴菱形AEDF是正方形．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，综合题，难度不大，熟记各图形性质是解题的关键．