将正方形ABCD作如下划分:第1次划分:分别连接正方形ABCD对边的中点.得线段HF和EG.它们交于点M.此时图2中共有5个正方形,第2次划分:将图2左上角正方形AEMH再作划分.得图3.则图3中共有9个正方形,(1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去.则第100次划分后.图中共有401个正方形,(2)继续划分下去.第几次划分后能有805� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．将正方形ABCD（如图1）作如下划分：
第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；
第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再作划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
（1）若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第100次划分后，图中共有401个正方形；
（2）继续划分下去，第几次划分后能有805个正方形？写出计算过程．
（3）能否将正方形性ABCD划分成有2015个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．
计算$\frac{3}{4}$（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）．（直接写出答案即可）

分析（1）由第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，可得规律：第n次可得（4n+1）个正方形，继而求得答案；
（2）由规律可得方程4n+1=805，继而求得答案；
（3）由规律可得4n+1=2015，又由n为整数，可求得答案；
（4）此题可看作上面几何体面积问题，即可求得答案．

解答解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
∴第n次可得（4n+1）个正方形，
∴第100次可得正方形：4×100+1=401（个）；
故答案为：401；

（2）根据题意得：4n+1=805，
解得：n=201；
∴第201次划分后能有805个正方形；

（3）不能，
∵4n+1=2015，
解得：n=503.5，
∴n不是整数，
∴不能将正方形性ABCD划分成有2015个正方形的图形；

（4）结合题意得：$\frac{3}{4}$（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）=$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n+1}}$=（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$）+（$\frac{1}{{4}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{3}}$）+…+（$\frac{1}{{4}^{n}}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}}$）=1-$\frac{1}{{4}^{n+1}}$．

点评此题考查了规律问题．注意根据题意得到规律：第n次可得（4n+1）个正方形是解此题的关键．