Question

8．如图，在△ABC中，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．
（1）求证：AE=DB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质得AC=BC，∠BCA=60°，则可判断△ABC为等边三角形，过点E做EG∥AC交BC于点G，如图，则△EBG为等边三角形，所以EG=BE=BG，∠EBG=∠EGB=60°，则∠EBD=∠EGC=120°，接下来证明△BDE≌△GCE得到BD=GC，然后利用等线段代换可得到AE=DB；
（2）利用BD=AE，BE=BC=CE=EF等线段代换易得四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．

解答 解：（1）∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，
过点E做EG∥AC交BC于点G，如图，
∴△EBG为等边三角形，
∴EG=BE=BG，∠EBG=∠EGB=60°，
∴∠EBD=∠EGC=120°，
∵ED=EC
∴∠D=∠ECD，
在△BDE和△GCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠EGC}\\{∠D=∠GCE}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△GCE，
∴BD=GC，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴AB-BE=BC-BG，
∴AE=CG，
∴AE=DB；
（2）AE+BE=AB；BD+BE=AB；AE+AF=AB；BD+AF=AB．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．