Question

10．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并直接写出∠DFE的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可；
（2）先作AH⊥BC于H，再根据平行线的性质求得∠DFE的度数；
（3）先作AH⊥BC于H，再根据平行线的性质求得∠DFE的度数．

解答 解：（1）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=55°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=55°-40°=15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）可得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠DAH=15°；
（3）如图③所示，∠DFE=15°．
理由：作AH⊥BC于H，
由（1）可得∠DAH=15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE=∠DAH=15°．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质以及角平分线等，解题时可作辅助线，构造平行线，利用平行线的性质进行求解．此外，本题也可以不用作辅助线，根据三角形内角和求出∠ADC后，再根据三角形内角和求∠F即可．