Question

6．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=$\frac{a}{x}$交于一象限内的P（$\frac{1}{2}$，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=$\frac{1}{8}$．
（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）当kx+b＞$\frac{a}{x}$时，请根据图象直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过P作PC⊥y轴于C，由P（$\frac{1}{2}$，n），得到OC=n，PC=$\frac{1}{2}$，根据三角函数的定义得到P（$\frac{1}{2}$，4），于是得到反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$，Q（4，$\frac{1}{2}$），解方程组即可得到直线的函数表达式为y=-x+$\frac{9}{2}$；
（2）过Q作OD⊥y轴于D，于是得到S_△POQ=S_{四边形PCDQ}=$\frac{63}{8}$；
（3）观察图象可得结果．

解答 解：（1）过P作PC⊥y轴于C，
∵P（$\frac{1}{2}$，n），
∴OC=n，PC=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠BOP=$\frac{1}{8}$，
∴n=4，
∴P（$\frac{1}{2}$，4），
设反比例函数的解析式为y=$\frac{a}{x}$，
∴a=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$，
∴Q（4，$\frac{1}{2}$），
把P（$\frac{1}{2}$，4），Q（4，$\frac{1}{2}$）代入y=kx+b中得，
$\left\{\begin{array}{l}{4=\frac{1}{2}k+b}\\{\frac{1}{2}=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线的函数表达式为y=-x+$\frac{9}{2}$；

（2）过Q作QD⊥y轴于D，
则S_△POQ=S_{四边形PCDQ}=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+4）×（4-$\frac{1}{2}$）=$\frac{63}{8}$；

（3）由图象知，
当-x+$\frac{9}{2}$＞$\frac{2}{x}$时，$\frac{1}{2}＜x＜4$或x＜0

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形结合是解题的关键．