Question

19．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=$\frac{1}{2}$∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．

Answer 1

分析 如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=$\frac{1}{2}$MH=4．

解答 解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，
∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠GMB=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠GMB=$\frac{1}{2}$∠A=22.5°，
∵BG⊥MG，
∴∠BGM=90°，
∴∠GBM=90°-22.5°=67.5°，
∴∠GBH=∠EBM-∠ABC=22.5°．
∵MD∥AC，
∴∠BMD=∠A=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BD=DM，
而∠GBH=22.5°，
∴GM平分∠BMD，
而BG⊥MG，
∴BG=EG，即BG=$\frac{1}{2}$BE，
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，
∴∠MHD=∠E，
∵∠GBD=90°-∠E，∠HMD=90°-∠E，
∴∠GBD=∠HMD，
∴在△BED和△MHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠MHD}\\{∠EBD=∠HMD}\\{BD=MD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△MHD（AAS），
∴BE=MH，
∴BG=$\frac{1}{2}$MH=4．
故答案是：4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．