题目内容
已知A、B在直线l的同侧，自A、B向l作垂线，垂足分别为M、N，且AM=8，BN=6，MN=16，在线段MN上取一点C，使得△AMC与△BNC相似，求MC的值．
分析：根据题意，可以分别从△AMC∽△BNC或△AMC∽△CNB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解方程即可求得MC的值．
解答：解：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMN=∠BNM=90°，
∵AM=8，BN=6，MN=16，
设MC=x，BN=16-x，
若△AMC∽△BNC，
则
=
，
∴
=
，
解得：x=
，
若△AMC∽△CNB，
则
=
，
即
=
，
解得：x=12或x=4，
∴MC的值为：
或12或4．
∴∠AMN=∠BNM=90°，
∵AM=8，BN=6，MN=16，
设MC=x，BN=16-x，
若△AMC∽△BNC，
则
| AM |
| BN |
| MC |
| NC |
∴
| 8 |
| 6 |
| x |
| 16-x |
解得：x=
| 48 |
| 7 |
若△AMC∽△CNB，
则
| AM |
| CN |
| MC |
| BN |
即
| 8 |
| 16-x |
| x |
| 6 |
解得：x=12或x=4，
∴MC的值为：
| 48 |
| 7 |
点评：此题考查了相似三角形的性质与方程的求解方法．解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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19、已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法）
），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法）
），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法）