Question

已知双曲线y=与直线y=相交于A、B两点，第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点，过点B作BD∥y轴交x轴于点D，过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C。
（1）若点D的坐标是（-8，0），求A，B两点的坐标及k的值；
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；
（3）设直线AM，BM分别与y轴相交于P，Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值。

Answer 1

解：（1）∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入中，得y=-2，
∴B点坐标为（-8，-2），
而A、B两点关于原点对称，
∴A（8，2），
从而k=8×2=16；
（2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴B（-2m，-n/2），C（-2m，-n），E（-m，-n），
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=mn=k，S_△OEN=mn=k，
∴S_{四边形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直线y=1/4x及双曲线y=4/x，
得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
设直线CM的解析式是y=ax+b，
由C、M两点在这条直线上解得a=b=2/3，
∴直线CM的解析式是y=2/3x+2/3；
（3）分别作AA₁⊥x轴，MM₁⊥x轴，
垂足分别为A₁、M₁，
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为-a，
于是p=（a-m）/m，
同理q=（m+a）/m，
∴p-q=-2。