Question

12．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，OA与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$
• C． $4π-4\sqrt{3}$
• D． $\frac{16}{3}π-4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积，列式计算即可求解．

解答 解：如图，过O点作OE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=2，CE=DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD=2$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=4$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题主考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积．