Question

9．如图，等边△ABC内接于⊙O，已知⊙O的半径为4，则边长BC的长为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，利用等边三角形的性质得：∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，因为⊙O半径为4，可得OD=2，根据勾股定理求出DC的长，所以可知BC的长．

解答 解：过O作OD⊥BC于D，连接OC，
∴BD=CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵OC=4，
∴OD=2，
∴DC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2DC=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的外接圆与外心的关系，外心是三边垂直平分线的交点，由等腰三角形的三线合一的性质可知：等边三角形的外心、内心重合，因此等边三角形的外心也是角平分线的交点，构建直角三角形解决此问题．