Question

等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D、F为BC边上两点，且CD=BF，连接AD，过点C作AD垂线交AB于E，连接EF．
（1）若∠DAB=15°，AB=2

6

，求线段DF的长；
（2）求证：∠EFB=∠CDA．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得出∠CAD=30°，∠ACE=60°，∠BCE=30°，进而求出CD的长，再利用CD+BF-DF=BC求出即可；
（2）利用全等三角形的判定得出△ACD≌△CBG（ASA），以及△FBE≌△GBE（SAS），进而利用全等三角形的性质求出即可．

解答：（1）解：在等腰直角△ACB中，
∵AB=2

6

，
∴AC=CB=2

3

，
∵∠DAB=15°，
∴∠CAD=30°，∠ACE=60°，∠BCE=30°，
在Rt△ACD中，CD=

AC

tan30°

=

AC

3

=2=BF，
∵CD+BF-DF=BC，
∴2+2-DF=2

3

，
∴DF=4-2

3

；

（2）证明：如图，过点B作BC的垂线交CE延长线于点G，
在△ACD和△CBG中，

∠1=∠2 AC=BC ∠ACD=∠CBG

，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴∠CDA=∠G，CD=BG，
∵CD=BF，
∴BG=BF，
∵∠CBA=45°，∠CBG=90°，
∴∠GBE=45°，
在△FBE和△GBE中，

BF=BG ∠FBE=∠GBE BE=BE

，
∴△FBE≌△GBE（SAS），
∴∠G=∠EFB，
∴∠CDA=∠EFB．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，得出△FBE≌△GBE是解题关键．