Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，在滑动过程中，始终保持∠MPN=90°，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求DP的长；
（3）是否存在这样的点P使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍？若存在，求出AP的长；若不存在，请证明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）利用当B，E重合时，利用已知得出△ABP∽DPC，进而求出DP的长即可；
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△AEP∽△DPC．

（2）假设在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴

AB

PD

=

AP

CD

，
即：

4

DP

=

10-DP

4

，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合时DP的长为2或8；

（3）存在满足条件的点P，
∵△CDP∽△PAE，
根据使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍，得到两三角形的相似比为2，
∴

CD

AP

=2，
即

3

AP

=2，
解得AP=1.5；

点评：题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及线段最值问题，根据已知得出假设当B，E重合时利用相似三角形的判定得出是解题关键．