Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，

（1）求证：直线EP为⊙O的切线；

（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG²=BF•BO．试证明BG=PG；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．

 

Answer 1

（1）证明：连接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，

又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，

∴直线EP为⊙O的切线；

（2）证明：如图，连接OG，

∵BG²=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，

∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；

（3）解：如图，连接AC、BC、OG，

∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，

由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，

∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF，

∴sin∠OGF==∴OF=1，

∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，

在RT△BCA中，

CF²=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．