Question

（2012•辽阳）如图，正方形A₁B₁B₂C₁，A₂B₂B₃C₂，A₃B₃B₄C₃，…，A_nB_nB_n+1C_n，按如图所示放置，使点A₁、A₂、A₃、A_4、…、A_n在射线OA上，点B₁、B₂、B₃、B_4、…、B_n在射线OB上．若∠AOB=45°，OB₁=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S_n=

2^2n-3

．

Answer 1

分析：根据正方形性质和等腰直角三角形性质得出OB₁=A₁B₁=1，求出A₁C₁=A₂C₁=1，A₂C₂=A₃C₂=2，A₃C₃=A₄C₃=4，根据三角形的面积公式求出S₁=

1

2

×2⁰×2⁰，S₂=

1

2

×2¹×2¹，S₃=

1

2

×2²×2²，推出S_n=

1

2

×2^n-1×2^n-1，求出即可．

解答：解：∵四边形A₁B₁B₂C₁是正方形，∠O=45°，
∴∠OA₁B₁=45°，
∴OB₁=A₁B₁=1，
同理A₁C₁=A₂C₁=1，
即A₂C₂=1+1=2=A₃C₂，
A₃C₃=A₄C₃=2+2=4，
…，
∴S₁=

1

2

×1×1=

1

2

×2⁰×2⁰，
S₂=

1

2

×2×2=

1

2

×2¹×2¹
S₃=

1

2

×4×4=

1

2

×2²×2²，
S₄=

1

2

×8×8=

1

2

×2³×2³，
…
∴S_n=

1

2

×2^n-1×2^n-1=

22n-2

2

=2^2n-3．
故答案为：2^2n-3．

点评：本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．