Question

20．在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，求证：四边形AEDF是正方形．

Answer 1

分析 先由等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，得出AB=AC，再根据中位线的性质得出DE∥AC，DF∥AB，DE=DF，于是四边形AEDF是菱形，又∠A=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明四边形AEDF是正方形．

解答 证明：∵在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，
∴AB=AC．
∵点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，
即DE∥AC，DF∥AB，DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形，
又∵∠A=90°，
∴四边形AEDF是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，正方形的判定方法有：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．