Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2$\sqrt{2}$，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则$\widehat{DE}$的长为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．

解答 解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=2$\sqrt{2}$
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴$\widehat{DE}$=$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{π}{2}$
故选（B）

点评 本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型．