Question

扇形OAB的半径OA=1，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的动点，连结AC和BC，记弦AC、CB与弧AC、CB围成的阴影部分的面积为S，则S的最小值为（　　）

• A．

  π

  4

  -

  1

  2

• B．

  π

  4

  -

  2

  2

• C．

  π

  4

  -

  3

  4

  -

  1

  4

• D．

  π

  8

  -

  1

  4

Answer 1

分析：要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，连接AB，只需满足△ABC的面积最大即可，从而确定点C的位置，点C位于弧AB的中点，从而求出四边形AOBC的面积，由S_阴影=S_扇形OAB-S_{四边形AOBC}，即可得出答案．

解答：解：连接AB，

要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，
从而可得当点C位于弧AB的中点时，△ABC的面积最大，
连接OC'，则OC'⊥AB，
OD=

1

2

AB=

2

2

，DC'=OC'-OD=1-

2

2

，
S_{四边形AOBC}'=S_△AOB+S_△ABC'=

1

2

+

1

2

×

2

×（1-

2

2

）=

2

2

，
故可得S_阴影=S_扇形OAB-S_{四边形AOBC}=

π

4

-

2

2

．
故选B．

点评：本题考查了扇形的面积计算及动点问题，解答本题的关键是判断出点C的位置，有一定难度．