Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当AE的长为多少时，四边形DEBF是菱形？
（3）在（2）的基础上，若点P是对角线AC上的一个动点，请在图中用直尺在边AC上作出点P，使得PB+PE的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

考点：矩形的性质,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）设AE=x，表示出BE，再根据菱形的四条边都相等可得DE=BE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）过点E作AC的对称点E′，连接BE′，根据轴对称确定最短路线问题，BE′与AC的交点即为所求的点P，PB+PE=BE′，利用勾股定理列式求出AC，再根据∠BAC的正弦求出EE′，过点E′作E′H⊥AB于H，解直角三角形求出EH、E′H，然后求出BH，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴BE∥DF，
又∵BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）设AE=x时四边形DEBF是菱形，则BE=4-x，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE=4-x，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得x=

3

2

，
故，AE=

3

2

时，四边形DEBF是菱形；

（3）如图，过点E作AC的对称点E′，连接BE′，BE′与AC的交点即为所求的点P，
此时，PB+PE=BE′，
由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
EE′=2•AE•sin∠BAC=2×

3

2

×

2

2 5

=

3 5

5

，
过点E′作E′H⊥AB于H，
则EH=EE′sin∠AEE′=

3 5

5

×

4

2 5

=

6

5

，
E′H=

3 5

5

×

2

2 5

=

3

5

，
∴BH=BE+EH=4-

3

2

-

3

5

=

19

10

，
在Rt△BE′H中，BE′=

( 6 5 )2+( 19 10 )2

=

505

10

．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，轴对称确定最短路线问题，解直角三角形，难点在于（3）确定出点P的位置并作辅助线构造出直角三角形．